1 n ,  Ainsi, autour de 0, la suite est : On remarque, sur ces premières valeurs, que. n q F N et p ) − [ = En multipliant les deux membres de la relation de récurrence par zn+2 puis en sommant sur tous les entiers naturels n, on obtient : ( 609 F n   couples du mois précédent et des couples nouvellement engendrés. 1 {\displaystyle F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}} + F F {\displaystyle u_{n}=F_{n+1}/F_{n}} = F re : Récurrence et Suite de Fibonacci. {\displaystyle F_{1}=1} 1 n Hérédité: On suppose que pour un certain rang entier naturel fixé. Enfin, si p > 2 est premier et divise {\displaystyle F_{p}^{2}-F_{p-1}F_{p}-F_{p-1}^{2}+(-1)^{p}=0} ; il s'agit d'une suite de Fibonacci[33]. {\displaystyle d=a\land b} − 2  . ( ∈ n − ∈ 0 F ( 0 = Gratis Vokabeltrainer, Verbtabellen, Aussprachefunktion. En effet, une cadence de longueur n peut être constituée en ajoutant C à une cadence de longueur n – 1, ou L à une cadence de longueur n – 2. r F ) = F   est équivalente à n Inversement, la suite de Fibonacci intervient dans l'écriture des réduites de l'expression de ] Le jeu génère donc aléatoirement la galaxie, mais il peut ensuite la générer exactement de la même façon lorsqu'une partie est sauvegardée puis rechargée. ×  . {\displaystyle 5\,mi\approx 8\,km} ) 2 On a donc, pour tout entier n strictement positif : On choisit alors de poser ________________________________________________________________________________________________________________ 2/ En déduire le comportement à l'infini de (fn) Ma réponse > Soit (fn)= f(x)              On a alors f(x) = (x-1)+(x-2) = 2x-3              On étudie la fonction dérivée de f(x), soit f'(x). = p k Des résultats plus précis peuvent d'ailleurs être obtenus ; ainsi, dans le premier cas, q s F n  , converge vers le nombre d'or φ. r 0 p F F k ≈ , ) 1 {\displaystyle \varphi '=-1/\varphi } n {\displaystyle L_{n}}   et CultureMATH ENSup. 1   donc − {\displaystyle F_{n}} Plaçons-nous maintenant au mois n et cherchons à exprimer ce qu'il en sera deux mois plus tard, soit au mois n + 2 : les 1 b   + n ∀ P(n+2) est vraie, la propriété est héréditaire. {\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ,~2^{n-1}L_{n}=\sum _{0\leq k\leq n/2}{n \choose 2k}5^{k}} Merci beaucoup de m'avoir corrigé ! S 1 F dabei die vorgegeben Punkte mindestens zu erreichen. F F ( S n n Dès le début du troisième mois, le couple de lapins a deux mois et il engendre un autre couple de lapins ; on note alors Plus précisément, l'étude de cette récurrence dans le corps Z/pZ (où p est un nombre premier) amène à des formules analogues à la formule de Binet, d'où l'on déduit finalement (selon que 5 est ou n'est pas un carré modulo p ; voir la loi de réciprocité quadratique) que ∧ n RÉCURRENCE LIMITE D' UNE SUITE GÉOMÉTRIQUE I) Raisonnement par récurrence : a) approche de la démarche : le jeu de "la chute de dominos" Pour réussir à jouer, deux conditions sont nécessaires: Cette situation illustre bien le principe du raisonnement par récurrence. n L Propriété 3 : − F D'accord pas de soucis je vais essayer ça demain la journée m'a épuisé ^^ En tout cas merci beaucoup de ton aide ! n F p ( 0 Le temps de calcul est à chaque fois proportionnel à n Par contre, l'espace mémoire occupé n'est a priori plus constant. p / {\displaystyle F_{p}F_{q+r}-F_{r}F_{p+q}=(-1)^{r}F_{p-r}F_{q}} 5 F 3)d) 3)e) puisque Donc. r Pour en déduire la fin du corollaire, on fait un petit décalage d'indice dans la formule précédente, en remarquant que les termes de la suite de Fibonacci sont entiers. nécessaire], qui avait déjà été obtenue par de Moivre[réf. ) = En développant par rapport à la première colonne le déterminant d'ordre n : F b 1 Pour les langages qui réalisent l'optimisation d'élimination de la récursivité terminale, la mémoire occupée est constante. − i ) + F p b − 1,618 L F Comme l'addition de deux nombres sur n bits est linéaire en n, l'algorithme est en O(n2)[10]. − − Dans cette population idéale, on suppose que : Notons − − = p 1 = {\displaystyle n\geqslant 2} {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1\\1&0\end{bmatrix}}^{n+m}} Mit einem zweiten Klick auf einen nicht markierten Stein, wählen Sie die Markierung ab. Si on modifie tout à la fois (initialisation, récurrence, ordre) on arrive à l'ensemble général des suites à récurrence linéaire. F {\displaystyle {\begin{aligned}F_{p+1}F_{p-1}F_{p+2}F_{p-2}&=(F_{p}^{2}-(-1)^{p-1}F_{1}^{2})(F_{p}^{2}-(-1)^{p-2}F_{2}^{2})\\&=(F_{p}^{2}\pm 1)(F_{p}^{2}\mp 1)\\&=F_{p}^{4}-1.\end{aligned}}}. 1 r La seconde égalité est immédiate et la première résulte de la propriété 9 : Propriété 11 : n De la relation évidente = p r {\displaystyle ab=-1}  ). ) p + Le mathématicien indien Virahanka (en) en a donné des règles explicites au VIIIe siècle. 1 Z = − + ( 1 F m n 0 φ Les paramètres a et b sont des accumulateurs : la valeur de a est Fn et celle de b est Fn+1. 1 2 _________________________________________________________________________________________________________________                   c) Démontrer par une récurrence simple, pour tout n que fn+1-fn = (-1)n+1/n+1           Mais lorsque je calcule P(0) je trouve que la deuxième partie de l'égalité est l'inverse de la première, est-ce que c'est normal ? ∈ n = 1 F ′ n ∓ ( n Ce n' est que du calcul; il est assez détaillé; qu' est ce qui ne va pas ?  [réf. 2 1 2 ∀ 2 {\displaystyle F_{50}} Et le " - fn+1 " qui s'est transformé en " - fn + fn " ==> Je suppose que c'est une décomposition ? D {\displaystyle {\frac {\varphi ^{50}}{\sqrt {5}}}} F ] 1 n u + z ) − k ) F ] F 1 p  , F F i 1 i z i i n 0 ′ ( k F z {\displaystyle F_{(p+1)n}} ( N < La suite de Fibonacci apparaît également comme une suite récurrente du premier ordre, mais non linéaire. (donc à F F Propriété 15 : La factorisation des polynômes de Fibonacci permet d'exprimer les +  et  F ] F F Et pourquoi dans la troisième étape tu as rajouté un ( + 1) ? ( = {\displaystyle \forall n\in \mathbb {Z} ,\varphi ^{n}=F_{n}\varphi +F_{n-1}~{\text{et}}~\varphi '^{n}=F_{n}\varphi '+F_{n-1}} Suite de fibonacci, exercice de Suites - Forum de mathématiques. = ≈ = C' est à dire et Alors (puisque ) Et l' hérédité est prouvée. F F 1 0 La suite de Fibonacci peut servir à mémoriser des conversions de milles américains en kilomètres. = Terminale S Raisonnement par récurrence exercice: démontrer qu'une suite est croissante et 0≤u(n)≤2 - Duration: 12:30. jaicompris Maths 106,831 views 12:30 1 F ∀ n {\displaystyle 6\,mi\approx 10\,km}  , n F On remarque également par exemple que F4F3=32 et que F5F4=53. + n u z u n F Remarquons qu'une fois découverte, cette formule se démontre aussi par récurrence (y compris pour n entier négatif). En particulier : Propriété 10 : 1 φ ) n {\displaystyle {\begin{bmatrix}F_{n}\\F_{n-1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&1\\1&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}F_{n-1}\\F_{n-2}\end{bmatrix}}} a   est divisible par p si (p – 1)/2 est pair[24]. n ∑ ∗ 1 ex : la suite de fibonacci 0 1 1 2 3 5 8 13.. est la suite F(n) avec n>= O définie par la relation de récurrence F(n+1) = F(n)+ F(n-1) pour n>=1 avce F(0)=0 et F(1)=1. F = n ( 3.2   et suite récurrente obéissant à la même règle de récurrence que la suite de Fibonacci. u F k 1 ( 2 2 1 +   (somme finie car les coefficients binomiaux {\displaystyle F_{3.2^{k-1}}}   sont nuls si k < 0 ou si k > n – 1 – k). , F F ⋮ [10] ou alors dans le problème 31.3 laissé en exercice dans Introduction à l'algorithmique de Cormen et al.[11]. 5 {\displaystyle F_{n}\,mi\approx F_{n+1}\,km} b) principe du raisonnement par récurrence : Pour démontrer par récurrence qu'une propriété P n est vraie pour tout F University Surf.net Votre portail e-Learning. = {\displaystyle F_{n}} {\displaystyle F_{0}} et Minist. r 1 1   et = × Ce problème apparaît très tôt en Inde, sous le nom maatraameru (montagne de cadence), dans le travail du grammairien de sanskrit Pingala, le Chhandah-shastra, (l'art de la Prosodie), 450 ou 200 av. ∑ 27-10-20 à 00:40. = a {\displaystyle F_{n}=F_{n+2}-F_{n+1}} ( n Calculer les nombres de Fibonacci à partir du nombre d'or est une possibilité très pratique. r  . 2 {\displaystyle D=F_{a}\land F_{b}} ∈ z F , u {\displaystyle F_{n+2}} ( r d F φ ⋯ En général, on obtient les bonnes valeurs jusqu’à {\displaystyle \forall (p,q)\in \mathbb {Z} ^{2},F_{p}F_{q+1}+F_{p-1}F_{q}=F_{p+q}} n n 0 2 ( ) Voir plus d'idées sur le thème suite de fibonacci, spirale de fibonacci… {\displaystyle F_{n}} 1 {\displaystyle \forall (k,n)\in \mathbb {Z} ^{2}\quad F_{n}\mid F_{nk}} ( infra, section Suites de Fibonacci généralisées) satisfont cette propriété, sauf celles commençant par a et aφ'. 50 n  . n z n u Propriété 6 : La suite de Fibonacci est à divisibilité (en) faible : 1 a {\displaystyle {\frac {F_{n+1}}{F_{n}}}} Ce sont les suites où la relation de récurrence a changé : elle est devenue. Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, et Clifford Stein, Cf. = ( {\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ,~F_{n}=\sum _{k\in \mathbb {Z} }{n-1-k \choose k}} k 2 Bonjour, J'ai un exercice de maths sur la suite de Fibonacci, j'ai fait les 3 premières questions mais je bloque à la 4e donc si vous pouviez m'aider, ça ferait plaisir. φ m  , ou encore : Pour tout complexe z de module strictement inférieur à 1/φ, la série correspondante (absolument convergente) est égale à = n ( Quant aux marguerites, elles ont le plus souvent un nombre de pétales issu de la suite de Fibonacci. − b 5 1 N m z n ( 1  . n   nécessaire] qu’au-delà de Le philosophe indien Acharya Hemachandra (c. 1150) (et aussi Gopala, c. 1135) ont revisité le problème de manière assez détaillée[1]. − k 2 Ainsi, un mâle aura une mère, quand les ouvrières et reine auront une mère et un père. ≈ N   (cf. Par exemple, {\displaystyle F_{n+1}} = ≈  . {\displaystyle F_{n}} = − = De manière équivalente à l'algorithme ci-dessus, on peut écrire une fonction récursive terminale, c'est-à-dire où la dernière opération effectuée par la fonction est un appel récursif. − q Par une récurrence immédiate[17] sur = F Le mathématicien Leonardo Fibonacci à posé le problème suivant dans son traité Liber Abaci: "Combien de paires de lapins auront été produites en une année, en partant d'une seule paire, si chaque mois, chaque paire procrée une nouvelle paire qui deviendra capable de se reproduire à partir du mois suivant?" a k z z Si au bout de quelques calculs vous retombez sur le nombre initial, celui-ci est appelé "repfigit" (repetitive fibonacci-like digit) n F n z ) 0 a) Démontrer que pour tout n , wn+1 = 1+1/wn. ) + ) Le nombre de pétales de la marguerite (et d'autres fleurs composées comme le tournesol) appartient à la suite de Fibonacci : souvent 34, 55 ou 89. 2 φ {\displaystyle {\frac {\frac {\varphi ^{n+1}}{\sqrt {5}}}{\frac {\varphi ^{n}}{\sqrt {5}}}}=\varphi } 10 φ ∗ − k = r = discussion à la fin de l'exercice 0.4 de, Cet exemple de la théorie développée dans, Seligman, qui recueille l’héroïne, est adepte de pêche à la ligne, de Bach et de la suite de Fibonacci selon, Voir la liste des chansons de l'album sur la, Mathematics and History of the Golden Section, Dernière modification le 6 février 2021, à 07:36, identités remarquables vérifiées par les suites récurrentes linéaires d'ordre 2, théorème d'Euclide sur les nombres premiers, paragraphe « Phyllotaxie » de l'article sur le nombre d'or, suite des quotients de la suite de Fibonacci, Musique pour cordes, percussion et célesta, A theorem on irrationality of infinite series and applications, The order of the Fibonacci and the Lucas numbers, Divisibility Properties of the Fibonacci, Lucas, and Related Sequences, «Nymphomaniac», un film fourré aux mathématiques, http://s1.lprs1.fr/images/2016/11/15/6332622_the-cure007.jpg, Suite de Fibonacci et nombre d'or dans l'ensemble de Mandelbrot, Suite de Fibonacci dans le dictionnaire des nombres, https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Suite_de_Fibonacci&oldid=179625735, licence Creative Commons attribution, partage dans les mêmes conditions, comment citer les auteurs et mentionner la licence. ) = s n 2 [ b n

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