Déterminer si des applications sont linéaires ou pas.Bonus (à 12'20'') : Description des applications linéaire de R^2 dans R^2.Exo7. M 4;1(R) dé nie par f 0 @ x y z 1 A= 0 B B @ y x z x 2z x 3y 2x+y +z 1 C C A. Tu peux aussi décomposer $\varphi_k$ comme la composée de deux applications linéaires (vois-tu qu'en quelque sorte il y a "deux étapes" pour appliquer $\varphi_k$ ? Déterminer son noyau et son image. Une application lineaire de Edans Fest une application f:E!Ftelle que pour tous vecteurs u;v2Eet tout scalaire 2K, f(u+ v) = f(u) + f(v), f(u) = f(u). On sait que L(0E)=0F. Montrer que p + p est un projecteur si et seulement si p p = p p = Soient p, q ∈ L( E). 1. 1. Montrer que f est diagonalisable et trouver une base de vecteurs propres de f . Mais en l’occurrence, une preuve directe est facile à produire. (Q 1) Montrer que f est un isomorphisme en montrant qu’elle est injective et surjective. 1. Exercice 12 : [corrigé] Soit E un Kespace vectoriel et f ∈ L(E) telle que f2−3f +2Id E= 0L( ). ⇥E k, kL(x 1,...,x k)k F Ckx 1k E 1....kx kk E k. Démonstration: a) 1. ) 2.7. Je sais montrer qu'une application est linéaire, mais la forme de celle-ci me bloque dés le début, en prenant deux fonctions h et g C 0 ([0,1],), et , je n'arrive pas à dévelloper *h+g. Déterminer son noyau et son image. Soit E un espace vectoriel et f ∈ L(E) telle que f 3 = f 2 + f + idE , où idE est l’application identité. 2. 3. = Id. Justifier. Il est clair que est linéaire et que son noyau est la droite vectorielle engendrée par D’après la formule du rang : ce qui prouve que Autrement dit : est surjective. Notations: 1. 2. Soit f : E → F une application lin´eaire. Si F= E, fest appelee un endomorphisme. Alors l’image de f est un sous-espace vectoriel de F ; si le syst`eme de vecteurs (c 1,...,c n) engendre E (en particulier si c’est une base de E), alors l’image de f est engendr´ee par le syst`eme (f(c 1),...,f(c n)). Ecrire la matrice D de f , puis la matrice de p et de q, dans cette nouvelle base. Etant donnés deux espaces vectoriels et sur un même corps une application est dite linéairelorsqu’elle “préserve la structure vectorielle”, au sens suivant : 1. l’image de la somme de deux vecteurs est égale à la somme des image… E) et (F;kk F) deux espaces vectoriels norm es et L : E !F une application lin eaire. Exercice X. Soit l'application f : M 3;1(R) ! Montrer que f est une application linéaire et donner une base de Im f et de Ker f: Indication H Correction H Vidéo [000976] 3. La matrice suffit donc à connaître l’application f. 5) Ecrire la matrice de f dans les bases canoniques de R3 et R4 Exercice 3 On considère l’application linéaire de R3 dans R3 , définie par : f(x, y, z) = (x + y + z, x – y +2z, x - 2y - z) Le théorème du rang se reformule donc en dim E = rg f + dim(ker f ) Preuve. est bijective (donc est un isomorphisme d'espaces vectoriels), c'est-à-dire qu'une application k-linéaire est entièrement déterminée par ses valeurs sur les k-uplets de vecteurs des bases, et que ces valeurs peuvent être des vecteurs quelconques de F. Plus concrètement, et en supposant pour simplifier les notations que (Q 2) En utilisant votre travail effectué sur la surjectivité, calculer son application réciproque en fonction de f. i)gest g en eratrice de F. Soit yun el ement de F. Comme f est surjective, il existe x2Etel que y= f(x). Oui, il suffit de vérifier cela. Montrer que f est une application linéaire. Exercice 11 : [corrigé] Déterminer une base du noyau, l’image de l’application linéaire canonique- Et ca se prouve. Montrer que l'application réciproque f-1 de f est aussi une application linéaire (donc un isomorphisme). Cette définition équivaut à la suivante i’)pour tousuetvdans E, pour tous ‚ et „dans R, on af(‚u¯„v) ˘‚f(u)¯„f(v). Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie, F un K-espace vectoriel quelconque et f une application linéaire de E dans F . Montrer que f est un automorphisme (i.e. Bonus (à 6'15'') : Homthétie et famille libre. Montrer que (x0,f(x0),f2(x0)) est une base de E. (Q 3) Quelle est la matrice de fdans cette base? 1) Soient Eet F deux espaces vectoriels alors l' application nulle , qui à tout x2Efait correspondre 0 Calculer le déterminant de A. s2 2. Applications lin eaires continues Frank Pacard 2 / 9 On note L(E,E) = End(E) l'ensemble des endomorphismes de E et Aut(E) l'ensemble des automorphismes de E (endomorphismes bijectifs de E). 3) Déterminer le noyau de f. 4) Quel est le rang de f ? La première équivalence est revue après avoir décrit l'algorithme LLL. 2. évident. Soit f un endomorphisme de E tel que f3 6= 0 et f4 = 0 (on dit que f est nilpotent d'ordre 4.) Soit u un endomorphisme de E, – on dit que u est un projecteur si u u = u, – on dit que u est involutif si u u = idE . Afin de respecter le contour des programmes de mathématiques des deux premières années d’enseignement supérieur scientifique, le cadre retenu sera celui des espaces vectoriels sur un corps (ce contexte pourrait être élargi à celui des modules sur un anneau commutatif). Le rang de f (noté rg(f )) est la dimension de Im(f ). Déterminer une matrice K de M2 (R) non diagonale telle que K 2 = I2 , puis une matrice Y de M3 (R) non diagonale telle que Y 2 = D. 2.8. Alors, les propositions suivantes sont equivalentes : (i) L est continue sur E ; (ii) L est continue en 0; (iii) il existe une constante C >0 telle que kL(x)k F C kxk E; pour tout x 2E. On appelleapplication linéairede E dans F toute applicationfde E dans F telle que i)pour tousuetvdans E, on af(u¯v) ˘f(u)¯f(v); ii)pour tousudans E et ‚ dans R, on af(‚u) ˘‚f(u). b) 2. ) f est un isomorsphisme (bijective) ssi f est injective ssi f est surjective ssi rg f = n ssi il existe une application linéaire g de F dans E tel que g o f = Id_E ssi il existe une application linéaire g de F dans E tel que f o g = Id_F donc oui, il te suffit de montrer que f est injective seulement, ou … 2) f est-elle surjective ? On appelle application linéaire de E dans F toute application f: E −→F qui préserve les combinaisons linéaires : ∀x, y ∈E, ∀λ,µ∈K, f (λx +µy)=λf (x)+µf (y). Si A;B sont deux ensembles, S ˆB un sous-ensemble et F : A !B une application, alors F 1(S):=fa 2A j9s 2S;F(a)=sgest appelé l’image réciproque de S par F. SiU est un intervalle ouvert de R, k 2Z 0 et f :U !Rest une fonction, alors f[k] est la dérivée d’ordre k de f. En particulier, f[0] = f et f[1] est … Soit E un espace vectoriel, on note idE l’application identité. 1 2 1 2 2 1 0L(E) et déterminer son image et son noyau. f est bijective). On pose F = Ker(s − Id) et G = Ker(s + Id). Posté par . 3. 3. Je connais les formules : f (u+v) = f (u) + f (v) et f (l w) = l f (w) mais je ne sais pas comment les appliquer, je m emmêle les pinceaux... Merci pour votre aide Attention! Soit x 0 2E tel que f3(x 0) 6= 0 . Application linéaire qui induit une base. Merci! Scribd is the world's largest social reading and publishing site. application. Véri er que dim(Ker(f))+dim(Im(f)) = dim(M 3;1(R)). Cours et exercices de mathématiques pour les étudiants. Soit x ∈ E. Comme B est une base de E, on peut décomposer x de manière unique dans cette base : il existe a 1, a 2 et a 3 tels que : Appliquons f : Comme f est linéaire : Pour connaître f(x) il suffit donc de connaître f(e 1), f(e 2) et f(e 3), qui sont définis dans la matrice. Montrer que f entre 0 et 1 de f(t)dt est une application linéaire de C 0 ([0,1]),) dans et déterminer son image. L'ensemble des applications linéaires de E dans F est noté L K (E,F) (ou L(E,F) s'il n'y a pas d'ambiguité sur le corps K). L’ensemble des applications linéaires de E dans F est noté L(E,F). Rigoureusement il faudrait procéder par récurrence (et pas que pour la valeur en $0$... mais passons). Viennent alors une suite d'algorithmes polynomiaux pour Optimiser à partir de l'oracle Séparer. Indication pourl’exercice2 N Prendre une combinaison linéaire nulle et l’évaluer par fn 1. Montrer que f est une application linéaire. Montrer que E = Im (f) Ker (g). infophile re : Application linéaire et intégrale. Indication pourl’exercice3 N Faire un dessin de l’image et du noyau pour f : R R! Exo7. Indication pourl’exercice1 N Une seule application n’est pas linéaire. On dit que uest linéaire ou que c'est un morphisme si et seulement si : 8x;y2E;8 ; 2R; u( x+ y) = u(x)+ u(y): Lorsque E= F, un morphisme de Edans lui même s'appelle un endomorphisme . Soit une s une involution de L( E), i.e. Déterminer Ker u, Ker(u − Id) et Ker(u + Id). Par exemple pour Exemples. Mˆeme si (c 1,...,c n) est une base de E, (f(c 1),...,f(c n)) n’est pas forc´ement une base de Imf. ). Démontrer que h est une application linéaire. Or xs’ ecrit comme une combinaison lin eaire des v i, donc, par lin earit e de f, y= f(x) s’ ecrit comme une combinaison lin eaire des f(v i). Une base etant une famille libre et g en eratrice et une application bijective etant injective et Voici encore un exemple où la surjectivité d’une application est établie de façon indirecte. 2. THEOREME (de Banach-Steinhaus) On suppose que F esttonnelé.Si(T k) k∈N est une suite de L(F,G) telle que, pour tout ϕ∈F , Tϕ:= lim k T kϕ existe dans G , alors T : F −→ G est une application linéaire continue et (T k) k∈N converge vers T dans L s (F,G) . Après quelques transformations, on montre que, par polarité, on peut Séparer à partir de l'oracle Optimiser. Soient E et F deux espaces vectoriels sur un corps K. Une application f : E → F est dite linéaire (ou « morphisme de K-espaces vectoriels ») si elle vérifie à la fois … Exercice 9. Si G séquentiellement complet, alors L s (F,G) est séquentiellement complet. (Indication : On ouprar aisonnerr arp une oncdition néessairce et su sante) Exercice 9 Soit E un espace vectoriel de dimension 4. 6. Si F= Kon dit que fest une forme lineaire. 1) Montrer que f est une application linéaire.

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